अप्रॉक्झिमेट डे

आज ‘पाय्'(π) अप्रॉक्झिमेट डे साजरा केला जातो. कारण हा दिवस २२/७ अपूर्णाक सुचवतो.

दहावीपर्यंतच्या गणिताची ओळख असणा-या सर्वानाच ‘पाय्’ म्हणजे π ही संज्ञा नवीन नाही. वर्तुळाचा व्यास वा त्रिज्येवरून वर्तुळाचे परिघ व क्षेत्र काढण्यासाठी या संज्ञेचा वापर केला जातो. आज २२ जुलै! म्हणजेच वेगळ्या स्वरूपात ही तारीख लिहायची झाली तर २२/७ अशी लिहितात. या संख्येला गणिती भाषेत ‘पाय्’ असे म्हणतात.

‘पाय्’(π)च्या मूल्याच्या आधारावरून अनेक सिद्धांत व प्रमेयं गणित विश्वात प्रचलित आहेत. परंतु π चे खरं मूल्य अजूनही कोणाला ओळखता आलेलं नाही. ‘पाय्’(π) अप्रॉक्झिमेट डे साजरा केला जातो. कारण हा दिवस २२/७ अपूर्णाक सुचवतो. π ही संख्या ३.१४ अशीही दशांश स्वरूपात मांडली जाते. असं म्हणतात की, याचा आणखी एक योगायोग असा आहे की याच दिवशी आर्किमिडिजचा जन्मदिवस आहे, ज्याने π ची अचूक किंमत शोधली.

ग्रीक मूळाक्षरातील ‘प्’ साठी वापरात असलेली ही संज्ञा आता जवळ जवळ अंक म्हणूनच ओळखली जात आहे. या अंकाचे मूळ शोधणे तितकेसे कठिण नाही. पुरातन काळच्या इजिप्त, भारत, बॅबिलोनिया व ग्रीक येथील भूमितीचे जाणकार कुठल्याही वर्तुळाचा परिघ व त्याचे व्यास यातील गुणोत्तर स्थिर असते असे ढोबळमानाने ओळखत होते. काही इतिहासकारांच्या मते ग्रीक येथील आर्किमिडिज यांनी π चे मूल्य शोधण्यासाठी परिघ – व्यास गुणोत्तराऐवजी वेगळी पद्धत वापरली. म्हणूनच याला ‘आर्किमिडिज स्थिरांक’ असे सुद्धा म्हटले जाते. सूर्यासारख्या प्रचंड आकाराच्या ग्रहापासून ते अगदी बोटात मावणार्याठ अंगठीसारख्या बारीक सारीक वर्तुळाकार वस्तूंचे परिघ किंवा क्षेत्र मोजण्यासाठी हे एकमेव गुणोत्तर असून त्याचे मूल्य सुमारे ३.१४(२२/७) आहे हे जगन्मान्य झालेले आहे. यावरून वर्तुळाचा परिघ त्याच्या व्यासाच्या तिप्पटीपेक्षा थोडासा जास्त असतो हे लक्षात येते. आपल्याला जमिनीवर १० मीटर परिघ असलेले वर्तुळ काढायचे असल्यास दोरी, खुंटी व खडूच्या सहाय्याने व या गुणोत्तराच्या मदतीने सहजपणे काढता येईल. १० मीटर परिघ असल्यास १० = ३७३.३ (व्यास) = ३७२७१.६५ (त्रिज्या) असे गुणोत्तर येईल.

वर्तुळाचा परीघ आणि व्यास यांचे गुणोत्तर म्हणजे एक स्थिरांक आहे हे बर्यारच वर्षांपासून माहीत होते पण त्याची किंमत नक्की किती हे मात्र ठरवता येत नव्हते. बायबलमध्ये याची किंमत “३” अशी नमूद केली आहे. पण त्याच्याही आधी साधारणपणे इ.स.पू. १६५० च्या इजिप्शियन ह्रिंड पपायरसच्या (Rhind Papyaras) उल्लेखानुसार π ची किंमत सर्वात पहिल्यांदा नोंद केलेली आढळते. या उल्लेखानुसार ४ (८/९)२ = ३.१६ ही किंमत जरी फ़ारशी अचूक नसली तरी हा त्याकाळाला अनुसरून बर्याखच अंशी यशस्वी हा प्रयत्न म्हणता येईल. भारतीय साहित्यातील भारतीय विद्वान याज्ञवल्क्य याने “शतपथ ब्राह्मण” या ग्रंथात साधारण इ.स.पू. ९व्या शतकात π ची किंमत ३३९/१०८ ≈ ३.१३९ अशी दिलेली आहे.

भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट (इ.स.४७६ – इ.स.५५०) यानेही पायची किंमत काढण्याचा प्रयत्न केलेला आढळतो. त्यासाठी त्याने एक श्लोकही दिलेला आहे.

“चतुराधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्त्राणाम !
अयुतद्वयविष्कम्भस्यासन्नो वृत्तपरिणाहः !!”

चतुराधिकं शतं = १०४
अष्ट = ८
गुणम = गुणिले
तथा = अधिक
द्वाषष्टि सहस्त्राणाम = ६२०००
अयुतद्वय = २००००
विष्कम्भस्य = व्यासाचा
आसन्न = जवळजवळ
वृत्तपरिणाहः = परीघ

बघूया तरी आर्यभट्ट नक्की म्हणतो तरी काय?

श्लोकार्थ = १०४ या संख्येला ८ ने गुणून येणारी संख्या ६२००० मध्ये मिळवली की, २०००० व्यासाच्या वर्तुळाच्या परीघाची जवळजवळ किंमत मिळते.
इथे आर्यभट्टाने “पाय”ची अप्रत्यक्षपणे किंमत दिलेली आहे. कारण प्रत्यक्षदर्शनी त्याने वर्तुळाच्या परीघ आणि व्यासाचा संबंध लावण्याचा प्रयत्न केलेला दिसतो, इथेच त्याने “पाय”चा अभ्यास केलेला होता हे सिद्ध होते.
म्हणजेच π = परीघ/व्यास = (६२००० + १०४ *८)/२०००० = ६२८३२/२०००० = ३.१४१६ (जवळजवळ) ही किंमत आर्यभट्टाने π साठी दिली होती. “आसन्न” म्हणजे जवळजवळ याचा अर्थ आर्यभट्टालाही हे माहीत होते की π ची ही किंमत अचूक नाही म्हणूनच तो या उत्तराला “जवळजवळ” असे म्हणतो. पुढे आर्यभट्टाच्या पुढील काळात होऊन गेलेल्या भारतातीलच ब्रह्मगुप्त (इ.स.५९८ – ६६८) या गणितज्ञाने π ची किंमत वर्गमुळात १० म्हणजेच ३.१६२२ अशी दिली पण तीही फ़ारशी बरोबर नव्हती.

प्रत्येक वेळी फ़क्त “जवळजवळ” किंमत काढून काढून आता गणितज्ञ हैराण झाले होते. आता यावर काहीतरी नक्की पर्याय शोधून काढणे गरजेचे होते. यामध्ये बाजी मारली ती भारतीयानेच. १३५० मध्ये भारतातील केरळ येथे जन्मलेल्या “माधव” याने तर “पाय” ची किंमत शोधण्यासाठी एक सूत्रच दिले. कोणत्याही फ़ंक्शनची किंमत काढण्यासाठी अमर्याद मालिकेची (Infinite Series) कल्पना मांडणारा म्हणून माधवाचे नाव गणिताच्या इतिहासात अजरामर आहे. त्याचमुळे गणितातील “मॅथेमॅटिकल अनेलिसिस” या शाखेची द्वारे उघडली. माधवाने दिलेले सूत्र वापरून त्रिकोणमितीच्या कोणत्याही गुणोत्तराची किंमत कितीही दशांश स्थळांपर्यंत अचूकरित्या काढता येत होती. त्यातीलच एका सूत्राचा वापर करून π ची किंमत काढता येते.

जोहान हिन्रिच लॅंबार्ट या जर्मन गणितज्ञाने इ.स.स १७६१ मध्ये सर्वप्रथम हे दाखवून दिले की π ही एक अपरिमेय संख्या आहे. त्याचबरोबर आद्रियन मारी लिजेंडर (१७५२-१८३३) या फ़्रेंच गणितज्ञाने १८९४ मध्ये हेही सिद्ध केले की π चा वर्ग हीसुद्धा एक अपरिमेय संख्याच आहे. त्याचबरोबर फ़र्डीनांड वोन लिंडेमॅन या जर्मन गणितज्ञाने हेही सिद्ध केले की π ही संख्या कोणत्याही बहुपदीचे उत्तर असू शकत नाही. या काळाचा विचार केला असता हे दिसून येते की जेव्हा युरोपात या घटना घडत होत्या, त्यावेळी आपल्याकडे काय चालू होते? १७६१ मध्ये जेव्हा लॅंबार्टने पाय ची अपरिमेयता सिद्ध केली तेव्हा आपल्याकडे मराठे आणि अहमदशाह अब्दाली यांच्यात सत्तासंघर्ष सुरू होता. पानिपतचे युद्ध हे १७६१ मध्येच झाले त्यावेळी युरोपात “पाय” वर संशोधन चालू होते. लिओनार्ड ऑइलर आणि जोहॅन लॅंबर्ट एकमेकांचे आणि महाराष्ट्रातल्या माधवराव पेशव्यांचे समकालीन होते.

१,२४०,०००,०००,००० अंशापर्यंत मोजलं गेलं. गंमत म्हणजे ० ते ९ आकडे असलेल्या या अपूर्णाकात कुठल्याही संख्येची पुनरावृत्ती झाली नाही. जर या गुणोत्तराचे मूल्य अनंत अंशापर्यंत काढत गेल्यास या अपूर्णाकात कुठे ना कुठे तरी आपल्यातील प्रत्येकाचा मोबाइल क्रमांक, क्रेडिट कार्ड क्रमांक वा जन्मतारीख नक्कीच मिळेल. यासारखे वैशिष्टय़ इतर कुठल्याही साध्या अपूर्णाकात मिळणार नाही. एखाद्या वस्तूची उंची जास्तीत जास्त अचूकपणे मोजण्याचे ठरवल्यास कदाचित ती १७०.२३६२८३९४५ सेंटीमीटर अशी काही तरी असू शकेल व या नंतर ती तिथेच थांबून जाईल. किंवा यात आणखी काही आकडे जोडण्याचा प्रयत्न केल्यास ती संख्या अमर्यादित असेल. इजिप्शियनांच्या गणितात २५/८ = ३.१२५ नंतर आकडे थांबतील. फार फार तर आपल्याला ३.१२५०००००० असेही लिहिता येईल. हे शून्य हजारो, कोटी वेळा लिहूनही मूल्यात काही फरक पडणार नाही. कितीही प्रयत्न केले तरी नंतरच्या भागात शून्य व्यतिरिक्त दुसरा कुठलाही आकडा तेथे दिसणार नाही. म्हणूनच π या संख्येला अपरिमेय अंक (irrational number) असे म्हटले जाते. (जी संख्या पूर्णाकाच्या रूपाने किंवा दोन पूर्णाकाच्या भागाकाराने, म्हणजेच अपूर्णाकाच्या रूपाने, व्यक्त करता येत नाही ती संख्या. (उदा – π, २, ३ इ. ) याचा अर्थ ही संख्या पूर्ण संख्येच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात मांडता येत नाही.

भूमितीच्या संदर्भात π संख्या रूढ असली तरी विज्ञानाच्या इतर क्षेत्रातही या संख्येचा वापर होत आहे. गिझा येथील पिरॅमिड्स बांधणा-यांना स्र्चे मूल्य माहित होते, असा दावा केला जातो. वर्तुळाच्या क्षेत्राएवढा क्षेत्र असलेला चौकोन काढणे (squaring the circle) हे आव्हान आजपर्यंत कुणी स्वीकारले नाही. आइन्स्टाइनने याचा वापर नदीच्या लांबीच्या संदर्भात करता येतो असे शोधून काढले आहे. वाकडेतिकडे वाहणा-या नदीचे वास्तविक अंतर व नदीच्या उगमापासून संगमापर्यंतचे थेट अंतर याचे गुणोत्तर सुद्धा πएवढे असते, असे त्यांनी पहिल्यांदा सुचविले. नदीचा बाक जास्त असल्यास किना-यावरील मातीची धूप होण्याची शक्यता जास्त. जास्त धूप होत असल्यास नदी जास्त वेगाने वाहणार. जास्त वेगामुळे धूप होत होत नदीचा बाक वाढत जाणार. या चक्रातून सुटका करून घेण्यासाठी निसर्गाने काही मर्यादा आखून दिल्यासारखे नद्या वाहतात व ही मर्यादा π गुणोत्तरात आहे, असे आइन्स्टाइनला वाटले. रोजच्या वापरातील गोल गोल नाणी, कारमधील स्टिअरिंग व्हील, आकाशात दिसणारे सूर्य, चंद्र वर्तुळाकारात असूनही त्यांचे व्यास अचूकपणे ओळखता येत नाही हे सांगूनही खरे वाटणार नाही.

(साभार – शमशुद्दीन नसिरूद्दीन आत्तार, मोहन आपटे, विनोद गोरे)

संकलन: संजीव वेलणकर.

९४२२३०१७३३

पुणे.