गोष्ट सांगा आणि गणित शिकवा – १०

तुम्हाला पाणबुडी चालवायची आहे का?
****************
आत्ता पर्यंत: संध्याकाळी जेवणानंतर सगळं कसे मस्त वाटत होतं. तेव्हड्यात काकांनी आईस्क्रिमचा गुगली बॉल टाकलाच… स्कुप मधे आईस्क्रिम जास्त का सोफ्टी मध्ये?
टीम पुणे त्रिकोणी ग्रहावर भ्रमण करीत होती. एरेटॉसथिनिस काका बरोबर ट्रिप वरून कालच परत आले होते…

गोष्टीचा आधीचा भाग…. इथे टिचकी मारा
****************

ऍक्वेरिअम बघायला सगळे निघाले तेव्हा काकांनी विचारले – तुम्हाला पाणबुडी चालवायची आहे का? कोण नाही म्हणणार? चला तर मग ऍक्वेरिअमला…

ऍक्वेरिअम

ऍक्वेरिअम म्हणजे एक प्रचंड मोठे तळं होते.

तळ्याच्या मध्यभागी एक गोलाकार ऐसपैस, रुंद मनोरा बांधला होता! किनाऱ्यावरून मनोऱ्यापर्यंत जायला चांगला 20 मिनिटाचा बोटीचा प्रवास करावा लागला.

मनोऱ्याचा पहिला मजला पाण्याच्या वर आणि नंतरचे 9 मजले पाण्याखाली होते. त्याचा खाली काँक्रिटचे कॉलम. तसे तळं 300 फूट खोल होत, कॉलम बुडाशी असलेल्या एका टेकडी वर बांधला होता.

मनोऱ्याचा मध्यावर लिफ्टस होत्या. प्रत्येक मजल्यावर लिफ्ट मधून बाहेर पडताच पहिला एक कॅफेटेरिया, त्याचा पुढे कटुंबा समावेत बसण्याची जागा आणि शेवटी काचेच्या खिडक्या असलेली भिंत आणि खुर्च्या अशी मांडणी केली होती. बाहेर पाण्यातले मासे दिसावेत म्हणून पाण्यात दिव्यांची सोय होती.

तळ्याच्या वरच्या भागात रंगीत मासे होते. खालच्या मजल्यावर जाऊन बघितले तर मासे भुरकट, काळपट आणि मोठे, ऑक्टोपुस, स्क्विड, डॉल्फिन सदृश दिसत होते. काचेजवळ यावेत म्हणून वरतून त्यांच्यासाठी खाद्य पदार्थ टाकले जात होते, पण बेतानेच, त्यांची नैसर्गिक शिकारीचा स्वभाव सांभाळून योजना केली होती.

पाणबुडी अडव्हेंचर

मनोऱ्यावरून लहान पाणबुडी भाड्याने घेता येत होती. एका पाणबुडीत 6 माणसे बसू शकत होती. पाणबुडी स्वतः चालवायची!

पाणबुडीला ऑटो डेप्थ नेविगेशन सिस्टीम लावली होती. उंच सखोल भागाची माहिती स्क्रीनवर येत होती. तळाला, बाजूला कुठे ही टेकण्याचा धोका असेल तर मोठ्यांनी सांगितली जाते होती. इतर पाणबुडींची माहिती पण स्क्रिनवर रडार सारखी दिसत होती. चालकाने चुकीचे निर्णय घेतले तर ऑटो नाविक ताबा घेऊन धोका टाळत होता.

तळ्यात खूप ठिकाणी लाकडी पेटारे टाकली होती. एक पेटीत गुप्त खजिना आहे असे सांगितलं होतं. लोक मासे बघता बघता खजिना शोधत होते. पेटाऱ्या जवळ येताच पणबुडीच्या नाकावर एक लांब काठी बाहेर काढून पेटीच्या वरच्या हुक मधे अडकवली की पेटीचा x ray स्क्रिनवर दिसत होता. आतली वस्तू हवी असल्यास भरपूर डिस्काउंट मधे घेता येत होती. काही फ्री पण मिळु शकत होते… खजिना मोठ्या किमतीचा होता… सापडला तर फ्री!!

टीम पुणे मासे बघण्यापेक्षा पाणबुडी चालवणे आणि खजिना हुडकण्यात जास्त उत्सुक होती.

चालवणार कोण?

चालवणार कोण यावर चांगलाच वाद झाला. एरेटॉसथिनिस काकांना मधे पडावे लागले! कालचे आईस्क्रिमचे गणित जो आधी सोडवेल त्याला पहिल्यांदा नॅव्हिगेशन व्हील बसायला मिळेल, मग पुढे पाहू असे ठरले. तीघांनी तीन टेबल पकडली आणि उत्तर शोधू लागले. चिंट्या मात्र एका मिठाईच्या दुकानात गेला…

दहा मिनिटानी सगळे एकदमच आले! आता आली का पंचाईत? आधी उत्तर तपासू, मेथड बघू… चिंट्याभाऊ, तुम्ही सर्वात करा – काका म्हणाले.

अगदीच सोपे होते! एक स्कुप आणि एक सोफ्टी विकत घेतली. किंमत कळली!

काका खो खो हसू लागले. चिंट्याही हसू दाबत होता. बाकी सगळे मात्र “चिटिंग” “चिटिंग” ओरडू लागले. काका हसू अवरल्यावर म्हणाले – अरे 250 रु किलो ही खरी किंमत नव्हती, केवळ गणितासाठी सोयीची म्हणून गृहीत धरली होती. त्यामुळे तुझे उत्तर बरोबर कसे म्हणता येईल? पण मी कुठे त्यांची किंमत सांगतोय? मी कॅलक्युलेट करूनच सांगतोय – इति चिंट्या.

दोन आईस्क्रिम विकत घेतली आणि त्यांचे वजन केलं. कोन (cone) फारच हलका होता, पण मी दुकानदाराला 1 किलोत किती येतील विचारलं. बर्थ डे साठी हवेत म्हणून सांगितलं. त्याने 100 कोनच्या प्लास्टिक पिशवीचे वजन करून अंदाज दिला. त्यावरून उत्तर मिळाले. मग पुढे साधे सरळ वजा-बाकी गणित होते. बरणी आणि बॉक्स तर फारच सोपे ― सरळ फॉर्म्युला आहेत.

वा! चिंट्याभाऊ, तुम्हाला दाद दिली पाहिजे. अगदी प्रॅक्टिकल मेथड वापरलीत. हे सुद्धा हुषारीचेच लक्षण आहे. प्रश्नाचे उत्तर हवे होते, मेथड निवडीचे स्वातंत्र्य होतेच! वेल डन. बाकी तिघांनी काय केलय?

तिघांनी गणिती पद्धत वापरली होती. प्रथम नेहा सांगू लागली… मी आधी प्रश्न, दिलेली माहिती आणि उत्तर कसे काढावे याचा विचार मांडले. कागदावर, समोर सर्व माहिती दिसताच, कुठला विचार काम करेल हे स्पष्ट झाले. त्यानंतर फक्त कृती! कथनातले प्रश्न वाक्य जसेच्या तसे घेतले – प्रश्न समजण्यातच चुक नको!

प्रश्न:

1. …मग तुला (सॅमीला) गोळा घेतल्यामुळे आईस्क्रिम जास्त मिळालं का चिंटूभाऊंना काठाच्या ही वर आल्यामुळे जास्त मिळाले?
2. …सॅमीभाऊंचे आणि चिंट्याभाऊंचे किती बिल झाले आईस्क्रिमचा?
3. …एक डझन 2 किलोचे स्कुप आईस्क्रीमसाठी लागणारे टब किंवा बॉक्स, आणि 2 किलोची सोफ्टीसाठी वापरता येतील अश्या षटकोनी बरण्या डिझाइन करायच्या आहेत. त्यांचे माप सांगा. उंची, रुंदी, लांबी किती?
4. …पॅकिंग करायला कार्डबॉर्डचे बॉक्स हवे आहेत (Carton). बॉक्सचे माप सांगा. उंची, रुंदी, लांबी किती?
5. ज्ञात माहिती:
6. …कोन 12 cm उंच आणि 6 cm तोंडाकडे रुंद होता
7. …सॅमीने घेतलेला आईस्क्रिमचा गोळा बरोबर अर्धा आत गेला होता
8. …चिंट्याचा कोन (सोफ्टीने) भरला होता आणि वरती आईस्क्रिमने 4 cm उंचीचा कोन सदृश आकार केला होता
9. …आईस्क्रिमची घनता स्कुपसाठी घनता (density) 0.746 g/ml आणि सोफ्टी साठी 0.395 g/ml आहे
10. …कोन रु.10/- ला आहे
11. …आईस्क्रिम रु. 250/- रुपय किलो विकले गेले तर फायदेशीर होते
12. …वरखर्च दोन्ही प्रकारांसाठी रु. 10/- होतो
13. …दुकानदार 10℅ मार्जिन लावतो
14. …बरणी आणि टब पातळ हलक्या प्लास्टिकचे आहेत
15. …बरणी आणि टब कुठेही 10 cm पेक्षा कमी मापाच्या नसावे

विचार:

1. …कोनाची उंची, रुंदी दिली आहे म्हणजे घनफळ काढता येइल
2. …घनता दिली आहे – म्हणजे वजन काढता येईल
3. …खर्च गोळा बेरीज करून मिळेल
4. …बॉक्सची उंची स्थिर ठेवून, लांबी रुंदी जोड्या काढून बघता येईल (trial and error method) घनफळ 2 लिटर येईल ही अट
5. …बरणीचे दोन माप बघायचे होते. कोपऱ्यापासून कोपऱ्यापर्यंत व्यास, आणि समोरासमोरच्या सपाट बाजू मधला व्यास

कृती:

• …कोन तोंडाला 6 cm आहे, म्हणजे त्याचा व्यास 6 cm आहे
• …आईस्क्रिम स्कुप हा एक गोळा आहे, आणि अर्धा कोनात म्हणजे त्याचाही व्यास 6 cm आहे असे गृहीत धरायला हरकत नाही

प्रत्यक्षात व्यास किंचित लहान असायला हवा. कोनाचे टू स्केल चित्र काढून, तोंडाशी वर्तुळ काढून बघितलं तर लक्षात येईल. भूमितीचे नियम वापरून पण सहज लक्षात येईल. गोळ्याच्या वर्तुळाची व्यास जीवा (diameter chord) रेषेला दोन tangent काढले तर ते समांतर असतील, कोन करणार नाहीत. पण आईस्क्रीम स्कुप देताना ते खाली पडू नये म्हणून कोनामधे दाबून बसवलं जाते. कोनाच्या आत ते जरा चपटे होऊन घट्ट बसाते. मग जर अर्ध्यापर्यंत गेले तर 6 cm हा व्यास फार चुकीचा नाही. आता पुढचं गणित…

• …आईस्क्रिम गोळ्यांचे घनफळ 113.14 cc येईल (V=4/3 πr^3)
• …घनता 0.746 g/ml, त्यामुळे वजन 113.14 X 0.746 = 84.40 gms
• …किंमत रु. 45.50 (आईस्क्रिम + कोनाची किंमत + वर खर्च + 10℅)

सोफ्टी आईस्क्रिम कोनच्या वरती अजून एक कोन करते. त्याची उंची 4 cm चिंट्याने मोजली. त्यामुळे सोफ्टीची घनफळ दोन कोनांची बेरीज असेल.

• …आईस्क्रिम सोफ्टीचे घनफळ (२ कोन) 113 + 37.7 = 150.7 cc (V=1/3 h πr^2)
• …वजन 150.7 X 0.395 g/ml = 59.52 gms
• …किंमत रु 38.40

आता शेवटचे पॅकिंगचे प्रश्न:
बॉक्स आणि बरणी, दोन्हीची उंची 16 cm धरली, तर:

• … बॉक्स 16 X 12.5 X 10 मापाचा छान होईल
• …पण हे आकडे कसेही असू शकतात, गुणाकार 2000 आला पाहिजे आणि कुठलीही बाजू 10 पेक्षा कमी नको
• …बरणी साईड टू साईड 6.12 आणि कोपरा टू कोपरा 14 cm असू शकते. उंची 16 cm मी आधीच ठरवली होती. पण हे माप कमी जास्त होऊ शकत. घनफळ 2 लिटरच्या किंचित पुढे आले तर चालेल, पण कमी नको
• …बॉक्स किंवा बरणीच्या मधे थर्मोकॉल किती जाडीचे हवे यावरून डझनाच्या बॉक्सचा आकार ठरेल

नेहाने उत्तर पूर्ण केले. सगळ्यांचे उत्तर असेच होते. फरक इग्नोर करण्यासारखा होता. बरणी आणि बॉक्स आकार आवडी निवडीनुसार थोडे वेगळे होते. पण सगळ्यांचे घनफळ गणित जुळत होते.

एरेटॉसथिनिस काकांच्या चेहऱ्यावर कौतुक मावत नव्हतं. त्यांनी पाणबुडी पूर्ण दिवस बुक केली आणि सगळ्यांना मनसोक्त चालवण्याची परवानगी दिली. सुरवात प्रत्येकाला 5 मिनिट, मग प्रत्येकी अर्धा तास…

नेहाने ज्या पद्धतीने वैचारिक मांडणी दाखविली! त्याचे कौतुक थांबत नव्हते… गणित सोडवण्याचा सराव हे विचारांना शिस्तीची बैठक प्राप्त करून देते… त्याला तर्काची जोड मिळाली की… discipline, diligence, determination,… काकांच्या कौतुकानी मुलांना लाजल्याल्या सारखे होत होते… पण कौतुक आवडतही होतं…

****************
थोड्या वेळाने… पहिल्यांदाच पाणबुडी चालवणार, म्हणून एक प्रेसेंटशन बघणं कम्पल्सरी होत.
****************

उत्साह, घाई, अविचारी आणि अज्ञानी कृती हे सर्व घातक आहेत. पोहायला येत म्हणून कुठूनही उंचावरून नदीत उडी मारणे, समुद्रात “थोडेसेच” पुढे जाणे. संकट प्राणावर उठू शकते आणि म्हणून ज्ञान आणि तर्कशुद्ध विचार आवश्यक आहेत.

तुमची पाणबुडी…

पाणबुडी एक लांबट आयताकृती 15L X 10W X 10H फूट आकाराची आहे. कडेला थोडीशी गोलाई दिली आहे, त्यामुळे फुगीर डबी सारखी दिसते.

मध्यभागी, एका 2 फूट खोल खड्यात, काचेच्या खिडक्या असलेली 8L X 6W X 6H ची एक डबी बसवली आहे. या डबीत चालक आणि 5 प्रवासी बसण्यासाठी 3 बाकडे आहेत. हालचाल करायला मुळीच जागा नाही आणि करू नका. बोट स्थिर रहावी म्हणून बोटीचा, म्हणजे पर्यायाने आपला, तोल सांभाळणे अत्यंत आवश्यक आहे. हालचाल सावधपणे करा.

पाया खाली 8L X 6W X 4H चा बलास्ट टॅक आहे. पुढे आणि मागे दोन 3L X 6W X 2H ट्रिम टॅक्स आहेत. जमिनीवर पाणबुडीच्या वजन 41 tons आहे.

बोटीच्या पुढे आणि मागे, दोन्हीकडे प्रोपेलर्स (पंखे) आहेत, यातला एक स्टँडबाय आहे. एक शार्क माश्या सारखी उभी फिन पोटाखाली आहे जी सुकाणू सारख काम करते…, पंख्यांची दिशा बदलूनही बोट डावी उजवीकडे वळवता येते.

पण हे लक्षात ठेवा की शार्प वळण घेता येत नाहीत. वळताना वर्तुळाकार वळण होते. जेव्हढा स्पीड जास्त तेव्हडे वर्तुळ मोठे! सिम्युलेटर वर याचा सराव करा.

खाली वर करण्यासाठी मध्यभागी पाया खाली बलास्ट टँक्स आहेत. बाजूला दोन विमानाच्या पंखासारखे दोन Hydroplanes किंवा Diving planes आहेत. पुढे जात असताना पाण्या खाली/वर येण्यास मदत करतात. पहिल्या रांगेतल्या मधल्या खुर्ची समोर नॅव्हिगेशन कन्ट्रोल लिव्हर्स आणि गोल स्टीयरिंग व्हील आहे.

डावीकडे,O2, CO2, मोनिटर्स, डेप्थ अँड कोलीजन वॉर्निंग इंडिकेटर्स आहेत. उजवीकडे ऑटो डेप्थ नेविगेशन सिस्टीमचे डिस्प्ले स्क्रीन आणि अजूनही काही मीटर्स आहेत.

चालकासह सर्वांच्याच पुढे टच स्क्रीनस आहेत जे बाहेरचे दृश्य दाखवू शकतात. प्रत्येकजण आपल्याला हव्या त्या दिशेला बघू शकतो, झूम इन झूम आउट करू शकतो. दिवे मर्यादित अंतरा पर्यंतच उजेड देतात.

पाणबुडी Archimedes principle वर चालते. पाण्यात गुरुत्वाकर्षणाच्या विरुद्ध दिशेला अजून एक फोर्स काम करतो. त्याला बॉयंट फोर्स म्हणतात. जेव्हा हा गुरुत्वाकर्षणापेक्षा जास्त असतो, तेव्हा वस्तू तरंगते.
When an object enters water, it pushes out water to make room for itself. The object pushes out a volume of water that is equal to its own volume. This is called displacement.
If the object displaces an amount of water equal to its own weight, the buoyant force acting on it will be equal to gravity—and the object will float. But, if the object weighs more than the water it displaces, the buoyant force acting on it will be less than gravity, and it will sink.

बॉयंट फोर्स हा एखाद्या वस्तूमुळे जेव्हड पाणी बाजूला केले जाते त्या पाण्याचा वजना इतका असतो. म्हणजे जर एक गोळ्यांचे घनफळ 500 cc किंवा 0.5 लिटर असेल तर तो गोळा 0.5 ltr पाणी बाजूला करतो (Displacement). जर गोळ्यांचे वजन अर्धा किलो पेक्षा कमी असेल तर तो पाण्यावर तरंगतो. जास्त असेल तर बुडेल!

Displacement वाढवण्यासाठी गोळा फुगीर करता येतो. फुगीर भागात हवा असली तर तरंगतो. गोळ्याच्या फुगीर भागात पाणी भरलं तर त्याचे वजन वाढत आणि तो बुडतो. पुन्हा हवा भरली की तरंगतो.

हेच तत्व थोडे पुढे नेले तर तरंगण्याच्या गुणधर्म गोळ्याच्या घनतेशी पण जोडता येते. जेव्हढा गोळा भरीव, तेव्हडी त्याची घनता जास्त, म्हणजे वजन जास्त. बाजूला / डिस्प्लेस झालेल्या पाण्याचे वजन गोळ्याच्या वजनापेक्ष कमी. गोळा बुडतो!

जेव्हढा गोळा पोकळ, तेव्हडी त्याची प्रभावी घनता कमी, प्रभावी घनफळ जास्त. बाजूला / डिस्प्लेस झालेल्या पाण्याचे वजन गोळ्याच्या वजनापेक्ष जास्त. गोळा तरंगतो!

[प्रभावी घनता = (धातू वजन + हवेच वजन) / (धातूचे घनफळ + हवेचे घनफळ),… प्रभावी घनफळ = गोळ्याच्या धातूचे + पोकळीतल्या हवेचे घनफळ]

तुमची पाणबुडी याच तत्वांवर चालते. बलास्ट टॅंक आणि ट्रिम टँक्स मधे पाणी भरले की वजन वाढते, सबमरीन खाली जाते. पुन्हा टाक्यांमधे हवा भरली की वर येते…

****************
थोडा ब्रेक घेऊ… पण गम्मत म्हणून खाली दिलेली गणितं आणि प्रयोग करून बघा. पुढच्या सेशन मधे, तुमचे इन्स्ट्रक्टर तुमच्याकडून बोट चालवायचे प्रात्यक्षिक करून घेतील तेव्हा प्रश्न विचारतील, उत्तर तयार ठेवा.
****************

1. तुमच्या पाणबुडीमुळे किती किलो पाणी बाजूला केले जाते ? What is the weight of the water displaced by your submersible?
2. ट्रिम टॅंक अर्धेच भरले तर काय होईल?
3. जसे खोल जाल तसे पाण्याची घनता आणि दाब वाढतो – सबमरीनवर काम करणारा बॉयन्ट फोर्सचे काय होईल?

(आकार सर्वत्र आयताकृती आहे असे गृहत धरा.)
…
उत्तर कॉमेंट बॉक्स मध्ये लिहा…

एक स्वस्त आणि मस्त प्रयोग… घरी करून बघा!

1. पेन मध्ये शाई भरायचे एक ड्रॉपर घ्या.
2. त्यात थोडे पाणी भरा.
3. एका भांड्यात पाणी घ्या. ड्रॉपर त्यात उभा – vertical – तरंगला पाहिजे. त्यानुसार ड्रॉपर मधे पाणी कमी जास्त करा.
4. एक पाण्याची बाटली पाण्याने भरा.
5. ड्रॉपर त्या बाटलीत सोडा.
6. झाकण घट्ट लावा.
7. आता बाटलीवर अलगद बोटांनी दाब द्या आणि सोडा.
8. बघा काय होत दाब कमी जास्त केल्यावर.

आळस:
विडिओ बघा: Physics of toys- Cartesian diver ideas-part 1 // Homemade Science with Bruce Yeany

**************************
गोष्टीचा पुढचा भाग… लवकरच
**************************

मनोगत: आईस्क्रीम वरून पाणबुडी अशी उडी फारच मोठी होते असा फीडबॅक मिळाला. गणिताच्या दृष्टीने बघितले तर आईस्क्रिमचे गणित जास्त कॉम्प्लिकेटेड आहे. त्यामानाने सुबमरिनचे गणित सोपे आहे. असो. मूळ हेतू गणित शिकवण्याचा नाही. मलाच येत नाही तर काय शिकवणार कपाळ? केवळ थोडी कल्पकता आहे असे वाटते म्हणून प्रयोग करून बघतो…