गोष्ट सांगा आणि गणित शिकवा – १२

उत्साहाच्या भरात रात्री बराच वेळ मुलांना झोप आली नाही. सबमरीन मध्ये प्रवास करण्याचा अनुभव असा किती जणांना असतो? बरं, त्यावर काही वाचायला पण फारसे मिळत नाही. 20,000 Leagues under the sea आणि U-boat सारखी पुस्तक कोण वाचतं आजकाल? आणि दुसऱ्या महायुद्धाचे चित्रपट आता जुने झाले! नाही म्हणायला The Ghazi Attack या हिंदी चित्रपटामुळे निदान सबमरिन असे काही असते हे तरी कळलं होत. प्रकाराची युद्धनौका माहित झाली होती. पण शेवटी तो हिंदी पिक्चर! किती माहिती मिळणार?

****************

आत्तापर्यंत: सबमरीन बोट स्वतः चालवायची आणि पाण्याखाली तळाशी जाऊन खजिना शोधायचा या विचारांनी एक्ससिटेड होती. पाण्यातला जैवविश्वाचा अभ्यास वगैरे करणे हे ऍक्वेरियमला जाण्याचे प्रकट उद्दिष्ट सांगायला मस्त!

टीम पुणेला त्रिकोणी ग्रहाचा अभ्यास करण्यासाठी कॅप्टन नेमोंनी पाठवले होते. एरेटॉसथिनिस काकांनी त्यांचे ग्रहावर स्वागत केले आणि आता ग्रहावरचे प्रेक्षणीय ठिकाणे दाखवत होते.

गोष्टीचा आधीचा भाग… इथे टिचकी मारा

****************

टीम पुणे ‘शहरी’ होती (आणि पुणेरी!) जुजबी माहिती घेऊन अधिकार वाणीने बोलणे, भाषण देणे ठीक, पण प्रत्यक्ष …? थोडी धाकधूक, संभ्रम, भीती पण विलक्षण उत्सुकता, कुतूहल…

सॅमी वेगळ्या विचारात होता. वारंवार प्रश्नांची आठवण का दिली जात होती? तुमच्या पाणबुडीमुळे किती किलो पाणी बाजूला केले जाते ? ट्रिम टॅंक अर्धेच भरले तर काय होईल? प्रश्न फारच सोपे होते. पण विचारण्यामागे काहीतरी कारण असणार! गणित करून बघू, कारणं त्यातून कळेल कदाचित!

सबमरीनचे घनफळ दोन भागात काढायला हवे. एक खालचा भाग अँड दुसरा वरचा, म्हणजे प्रवाशांचा भाग. प्रवाशांचा भाग हा थोडासा खालच्या भागाच्या आत आहे, तेव्हा गणित करताना संभाळलं पाहिजे.

****************

सबमरिनचे गणित:

• खालचा भाग 15L X 10W X 10H = 1500 क्युबिक फूट = 42.47527 क्युबिक मीटर = 42475.27 लिटर
• प्रवाशांचा भाग 8L X 6W X 6H पण 8L X 6W X 4H ग्राह्य धरला पाहिजे, कारण २ फूट भाग हा खालच्या भागात आहे. त्याचे घनफळ खालच्या भागात सामावले आहे. त्यामुळे दोनदा घेता येणार नाही. म्हणून 8L X 6W X 4H = 192 क्युबिक फूट = 5436.83 लिटर</li>
  <li>Total = 47,912.10 लिटर

बलास्ट टॅंकचे गणित:

• 2 बलास्ट टॅंक 8L X 6W X 4H प्रत्येकी = 5436.83 लिटर
• 2 ट्रिम टॅंक 3L X 6W X 2H प्रत्येकी = 2,038.81 लिटर
• टोटल = 7,475.64 लिटर

पाण्याची घनता १ असते (समुद्रातले खारे पाणी १.०२ ते १.०३). म्हणजे जितके लिटर तितके किलो वजन धरायला हरकत नाही.

• बॉयांट फोर्स = बाजूला केलेल्या पाण्याचे वजन – सबमरिनचे वजन + बलास्ट टॅंक मधल्या पाण्याचे वजन + प्रवाश्यांचे वजन

बलास्ट आणि ट्रिम टॅंक रिकामे असताना:

• बॉयांट फोर्स = 47,912.10 – (41,000 + 0 + 250) = 6,662.1 Kg = सबमरीन पाण्यावर तरंगेल
• फरक पाहता जवळपास 4.25 फूट वर असेल. वरचा भाग 8L X 6W X 4H = 192 क्युबिक फूट = 5436.83 लिटर
• खालचा भाग 0.25 इंच कारण 15L X 10W X 0.25H = 45 क्युबिक फूट = 1274.26 लिटर. दोन्ही मिळून 6711.09 लिटर जे बॉयांट फोर्सच्या इतके आहे

बलास्ट आणि ट्रिम टॅंक पाण्याने भरले असताना:

• बॉयांट फोर्स = 47,912.10 – (41,000 + 7,475.64 + 250) = -313.54 Kg बाजूला केलेल्या पाण्या पेक्षा सबमरीनचे वजन जास्त आहे – सबमरीन पाण्यात बुडेल

ट्रिम टॅंक पाण्याने भरलेच नाही तर:

• बॉयांट फोर्स = 47,912.10 – (41,000 + 5436.83 + 0 + 250) = +1225.27 kg सबमरीन हलकी आहे, पाण्यावर तरंगेल
• = 43.27 क्युबिक फूट. 8L X 6W X 0.9H सबमरीन 0.9H / १०.८ इंच पाण्याचा स्तरावर असेल!

ट्रिम टॅंक अर्धेच पाण्याने भरले तर:

बॉयांट फोर्स = 47,912.10 – [41,000 + {5436.83 + (2,038.81)/2} + 250] = +205.87 kg सबमरीन हलकी आहे, पण जेमतेमच. म्हणजे सबमरीन तरंगेल पण एखादा इंच एव्हढाच भाग पाण्याचा पातळीवर असेल.

****************

म्हणजे नुसते बलास्ट टॅंक भरून काही होत नाही. ट्रिम टँक्स पण पूर्ण भरले पाहिजेत. कदाचित. आधी ब्लास्ट टँक्स भरतील आणि मग हळू हळू ट्रिम टँक्स भरतील. त्यामुळे सबमरीनवर जास्त चांगले नियंत्रण ठेवता येईल. इमरजेंसीमधे फक्त ट्रिम टँक्स किंवा फक्त बलास्ट टँक्स रिकामे करून स्तरावर येत येईल अशी योजना दिसते… कॉम्प्रेसज्ड हवा साठा कमी लागेल, वर आल्यावर बाहेरची हवा वापरता येईल!

ट्रिम टॅंक अर्धे भरले तर त्रिशंकू अवस्था होईल – धड ना पाण्याखाली ना पाण्यावरती! पण टाकी पूर्णपणे रिकामी झाली हे कळणार कसे? अरेच्या! सोपे आहे की – पोर्टहोल विंडो मधून बाहेर बघितलेकी झाले …!

आणि ते क्रॅकेन का काय ते… ही काय भानगड आहे? पायरेट्स ऑफ द कॅरीबिअन मधे एक जायंट स्क्विड किंवा ऑक्टोपस दाखवले होतं… पण ते काल्पनिक होत … इथे त्रिकोणी ग्रहावर …

बऱ्याच उशिरा सॅमीला झोप लागली…

****************

पोर्टहोल खिडकीतून बाहेर दाट धुके असल्या सारखे, धुरकट दिसत होते. जसे जसे खाली गेले, तसा काळोख वाढला. आणि सर्च लाईटच्या उजेडात कसलेतरी कण चमकताना दिसू लागले. कधी एखादा मासा तर कधी सापासारखेच इल मासा दिसला. पण ते चटकन अंधारात दिसेनासे व्हायचे.

आपण स्थिर उभे राहिलो तर ते घाबरून पाळणार नाहीत – काकांनी सांगितले. पण मुलं जरा जास्त उत्सहात होती. काहीतरी अनामिक थरार अनुभवायला मिळणार हीच मुख्य अपेक्षा होती आणि त्याचसाठी घाई होत होती… बोट जास्त स्पीडने चालवणे, जास्तीत जास्त खाली नेऊन बघणे, सगळे अनुभव प्राप्त करण्याचे उतावळे प्रयत्न होते. उजवीकडे, डावीकडे वळून बघत होते, स्पीड वाढवण्याचा प्रयत्न करत होते…

रडारवर दुसऱ्या बोटी आजूबाजूलाच होत्या हे दिसत होते, पण ना खिडकीतून ना पेरिस्कोप मधून दिसतात होत्या. एकदाच फक्त रडार वॉर्निंग मिळाली – दुसरी बोट south-west कडून येत आहे. दिशा ५ डिग्री north-east कडे वळवा. तेव्हा सायली स्टीयरिंग वर होती. एरेटॉसथिनिस काकांनी दिशा कशी बदलावी आणि रडारवर कसे बघायचे ते दाखवले. पण ते फारसे काही सांगत नव्हते, आधी अनुभव घ्या, उत्तेजना थोडी शांत होऊ द्या, मग पाहू…

हळू हळू वास्तवाशी जुळायला लागले. अंधारात कितीही जोरात धावले तरी कुठे आहोत, कुठे चाललोत, कुठे पोहोचलोय हे कसे कळणार?

सबमरीन चालवणे हे आंधळी कोशिंबीर सारखा खेळ आहे. केवळ सहकार्यांनी दिलेल्या सूचना ऐकून काही शोधायचे असा प्रकार. फक्त इथे सहकारी म्हणजे वेगवेगळे यंत्र होते – रडार आणि डेप्थ साउंडर!

काकांनी सबमरिनचे आतले दिवे कधी मंद केले कुणाला कळलेच नाही. बोटीचा वेग पण खूपच कमी केला होता. काकांच्या हाती सुकाणू देऊन सगळे खिडकीतून बाहेर बघत होते, एका अद्भुत विश्वाकडे डोळे विस्फारून पाहत होते… काका शांत आवाजात दिसणाऱ्या गोष्टींची माहिती देत होते… तेव्हड्यात…

****************

दुर्दैवाने माझे marine zoology विषयाचे ज्ञान अत्यल्प (0%) आहे – पापलेट, सुरमई फिश फ्राय… ज्ञान खलास. हा प्रयास पुढे नेतोना गणित शिकतोय म्हणून marine zoology मधे सध्या पडत नाही. वाचकांपैकी कुणी जर ह्या अंगाने रसभरीत वर्णन लिहितील तर स्वागत. तुमचं नावाने पब्लिश करीन. तो पर्यंत YouTube विडिओ माझी पळवाट…

1. David Attenborough Desert Seas Full Documentary HD
2. Ocean Life and Nature Documentary – Amazing Underwater Marine Life

****************

खजिन्याची पेटी … नेहा अचानक ओरडली.

खंडीत वीज पुरवठा सुरु झाल्यासारखे सगळे जागे झाले आणि कुठे कुठे म्हणून नेहाच्या बाजूच्या, खिडक्यांमधून बघण्यासाठी पटकन धावले! सगळ्यांचे वजन एका बाजूला गेल्या मुळे सबमरीन डाव्या कुशीवर चांगलीच कलंडली!

“अरे काय करताय?” काकांनी जरा चिडूनच विचारले. मुलांना आपली चूक लक्षात आली. बोटीत किंवा विमानात वावरणं म्हणजे झोपाळ्यावर उभं राहण्या सारखा आहे. अधांतरी – आकाशात किंवा पाण्यात – समतोलपणा राखणे फार गरजेचे आहे. म्हणून कुठलीही हालचाल जपून करावी लागते.

बराच वेळ काही होत नव्हतं. बायॉलॉजि लेक्चर, कोंदट वातावरण आणि स्वस्थ बसण्या मुळे थोडी ग्लानी येत होती. अचानक दिसले आणि भान राहिले नाही… नेहाने प्रांजळपणे कबुली दिली. आम्ही खजिन्या बद्दल विसरलोच होतो – चला आता खजिन्याच्या पेट्या शोधू.

तुम्हाला पोर्टहोल खिडकीतून बघण्याची गरज नाही. तुमच्या समोर स्क्रीन आहे त्यावर ६ कॅमेऱ्यातुन चित्र दिसतील – चारही बाजूला वर आणि खाली कॅमेरे आहेत. प्रत्येकाने बाजू ठरवून घ्या आणि त्यावर बघा. नेहाने पटकन डाव्या बाजूचा कॅमेरा निवडला तर सायलीने उजव्या बाजूचा!

सॅमी आणि चिंट्या दोघेही गप्प पाहून काकांनी भुवई उंचावली – अँड व्हॉट अबाऊट यू मास्टर सॅमी अँड मास्टर चिंट्याभाऊ? दोघेही एकदम म्हणाले – “रडार!” काका हसले ” दोघे तेच बघणार?” पण त्यांच्या चेहेऱ्यावर कौतुक लपलं नाही.

नेहाताई, कुठे दिसली होती तुम्हाला पेटी? 

आता आली का पंचाईत! काय उत्तर द्यायचं? आल्यापावली मागे जा म्हणावे तर सबमरीन गोल फिरवून आणावी लागेल, आणि ती करेक्ट दिशेला चालली आणि याच बिदूवर आली हे कसे सांगणार?

काका, आत्ता आपण (-१८. ०००, +१२, – ०.०६६) इथे आहोत. दिशा परफेक्ट पश्चिमेकडे आहे (due West). पुढे जाण्याचा प्रोपेलर बंद करून मागे जाण्याचा चालू करा, आहे त्या मार्गावरच सबमरीन रिव्हर्स होईल (due East). सॅमीने सांगितले.

ठीक आहे असे म्हणून काकांनी जॉयस्टिक मागे ओढली. रडार वर रीडिंग (-१८.०८५, +१२, – ०.०६६) दिसत होतं. पण जॉयस्टिक मागे ओढली तसे x axis चे रिडींग वाढण्याचा वेग कमी होत होत मागे फिरल्याचे दिसू लागले. १८. ०००, १८. ०९५, -१८.१८५ पासून कमी होतात -१८.१०५, … -१८.०८५, … -१८.०१५, -१७.९५५, … १७. ८१५ {The equation of the line is y = 12, i.e., parallel to x-axis. Z = -0.066 indicates depth of 66 m (216.5 feet.)}

३, ४ मिनिटातच सॅमी म्हणाला – काका, स्पीड कमी करा. आपण नेहाला जिथे खजिन्याची पेटी दिसली होती त्याचा जवळ आलो आहोत असे वाटतंय. नेहा, डावीकडे पोर्टहोल मधून बघ… सायली तू कॅमेऱ्यानी स्क्रीनवर आणि चिंट्या, मागच्या पोर्टहोल खिडकीतून बघ.

(मागच्या लेखातून – …तळ्यात खूप ठिकाणी लाकडी पेटारे होती. पेटाऱ्या जवळ येताच पाणबुडीतून एक काठी बाहेर काढून पेटीच्या वरच्या हुक मधे अडकवली की पेटीचा x ray स्क्रिनवर येतो. आतली वस्तू हवी असल्यास भरपूर डिस्काउंट मधे घेता येत होती…)

सॅमीचा तर्क परफेक्ट होती. दोनच मिनिटात नेहाला परत ती पेटी दिसली.सॅमीने चटकन नोटपॅड मधे (-१७. ६२० +१२, – ०.०६६) नोंद केली. आता पेटी जवळ जाऊन हुक मधे काठी अडकवली की आत काय आहे ते कळेल. पण हे तितके सोपे नव्हते. आधी बरोबर अंतरावर स्थिर उभं राहण्याचे आव्हान होते. त्यासाठी पुढचा आणि मागचा प्रोपेलवर एकाच ताकदीने फिरला पाहिजे – तेव्हा बोट स्थिर राहील. बंद करून चालणार नाही कारण न्यूटन साहेबांच्या पहिल्या नियमाँ प्रमाणे तिची पूर्व स्थिती – पेटाऱ्याच्या दिशेनी प्रवास – चालू राहील आणि बोट पेटाऱ्याचा पुढे जाऊ शकते. मग हुक मध्ये काठी फसवायला…

काकांनी सबमरीनची दिशा पेटीचं दिशेनी केली आणि हळू हळू पुढे सरकू लागले. काकांना थोडा अनुभव होता म्हणून ते सबमरिनला पेटीचा एकदम समोर आणू शकले. हुक तसा मोठा होता, पण सबमरीनच्या नाका समोर असलेली काठी (फिशिंग रॉड) त्यात अडकवायचा हे अवघड होते. सायलीने काठीचे कंट्रोल्स धरले. कंट्रोल्सनी काठी थोडी वर खाली, उजवी डावी कडे करता येत होती, पण फार नाही.

अरे फार अवघड नाही – एक फुटांपर्यंत गेली तरी चालेल – काकांनी हसून सांगितलं…

स्क्रीनवर पेटाऱ्याच्या आत काय आहे ते झळकले. सगळ्यांना फ्री टी-शर्ट्स आणि स्मार्ट मोबाइलवर ७५% डिस्काउंट वर १ महिना फ्री टॉक टाइम, अनलिमिटेड डाउनलोड… Add to cart वर क्लिक करा – अजून पेटारे शोधू आणि पाहू नंतर काय घ्यायचं ते…

छान. पण आता कुठे जाऊ? काकांनी विचारले.

काय उत्तर द्यावे हे कुणालाच सांगता आलं नाही – पुढे मागे, डावीकडे, उजवीकडे कशाच्या आधारावर सांगणार? तळ खूपच मोठं होतं, अंदाजे ४०० स्क्वेअर किलोमीटर. एव्हढ्या मोठ्या जागेत पेटारे कुठे आणि कशी शोधायची?

काय चिंट्याभाऊ, डिटेक्टिव्ह शेरलॉक होल्म्स काय करतील असा प्रश्न समोर आला तर?

लॉजिकली विचार करतील. पेटारे मुबलक आणि सहज सापडणारे असतील तर त्यातली गम्मत निघून जाईल. पण अशक्य अवघाडही नको… त्यामुळे, डिस्काउंट ऑफर्स पेटारे पुंजक्याने टाकले असतील. एक मिळाला कि त्याचा आजूबाजूला अजून असतील. फ्री गिफ्ट पेटारे क्वचित आणि कमी जाणाऱ्या भागात असतील… थोडे दूर आणि जिथे पाणी विशेष खोल नाही. किंवा कश्याच्या तरी आडोशाने…

आणि हो गणिताचे प्रेम विसरता काम नये…

करेक्ट चिंट्या. रात्री हाच विचार मला आला आणि सबमरीनचे लोकेशन कसे करायचे हे विचार करत होतो. कार्टेशियन सिस्टिम सोपी आहे म्हणून रडारवर तीच दाखवली आहे. पण नीट बघितले तर कोपर्यात एक बटन आहे जे पोलर कॉ-ऑर्डिनेट्स दाखवू शकते!

ये क्या भानगड है? चिंट्याने विचारले…

****************

आपण आत्ता कार्टेशियन पद्धत वापरून आपली पोझिशन बगतोय, म्हणजे (x,y). टॉवर पासून अंतर गणित करून काढावं लागते. पण पोलर कॉ-ऑर्डिनेट्स (r,θ) मधे टॉवर पासून अंतर आणि ऍक्सिसशी केलेला अँगल दाखवते. म्हणजे इथे असलो तर ३ किमी अंतर आणि ६० डिग्री पूर्वोत्तर.(ईशान्य) तेच इथे असलो तर ४ किमी अंतर आणि २१० किंवा ३० डिग्री दक्षिण-पश्चिम (नैऋत्य). अदलाबदल करणं पण सोपे आहे – X = r cosθ and Y = r sinθ झालं.

याचा उपयोग नॉन-लिनिअर ग्राफ्स चे गणिती रूपांतर सांगण्यासाठी होतो. ह्या ग्राफला रोज पेटल ग्राफ म्हणतात. (x, y) मध्ये गणिती समीकरण फॉर्मुला मांडता येणार नाही, पण पोलर कॉर्डिनेट्स मधे r = 4sin(2θ), असे गणिती समीकरण मांडता येते.

अधिक माहिती आणि ग्राफची लिंक – टिचकी मारा

पण फक्त तर्कांचे घोडे उधळून ठामपणे निष्कर्ष सांगणे योग्य नाही. आत्तापर्यंत एकाच पेटाऱ्याचे ठिकाण कळले आहे. किमान ५ -६ तरी शोधू आणि मग बघू. त्यासाठी या पेटार्यालाच मध्य मानून याचा भोवती गोल गोल फिरू, प्रत्येकवेळेला गोळाच रॅडिस ०.५ कमी ने वाढवू. गोलाकार पंथ आहे का हे बघणे सोपे आहे, आपले कॉ-ऑर्डिनेट्स (x – h)² + (y – k)² = r² या समीकरणाला धरून असले पाहिजेत. r म्हणजे रेडियस.

मी कॅलक्युलेशन पाहतो, चिंट्या, तू रडार आणि काकांबरोबर पुढचा कॅमेरा बघ, सायली, नेहा तुम्ही उजवीकडे आणि डावीकडे पोर्टहोल मधून बघा…

**************************
गोष्टीचा पुढचा भाग… लवकरच
**************************

— राजा वळसंगकर