गोष्ट सांगा आणि गणित शिकवा – ३

घाबरलेली मुलं एकमेकांना बिलंगुनच उभी होती. आजूबाजूला बघून कानोसा घेत होती. भिंतीवरची अक्षरं दिसत होती पण कोणी वाचत नव्हते…

**************
गणिताचा प्रश्न पाहिल्यावर थिजल्यासारखे होते. काय करू काही सुचतच नाही!!! हा माझाच नव्हे,अनेकांचा अनुभव आहे. बऱ्याच विद्यार्थ्यांना सुरू कुठे करावं हा प्रश्न असतो, तर तितक्याच विद्यार्थ्यांना समीकरण मांडणे अवघड जाते. म्हणून स्ट्रेटजी उपयोगी ठरते. त्यावरचा उपाय – ‘स्ट्रॅटजि’ – ‘रणनीती’. पहिले काय करावं हे सुचावं लागत नाही, माहित असते आणि ते केले के कोंडी फुटते … पुढची वाट दिसू लागते …

गोष्टीचा आधीचा भाग … इथे टिचकी मारा

**************

हळू हळू मुलं रिलॅक्स होऊ लागली आणि आजूबाजूला बघू लागली. भिंतीवरच्या अक्षरांचा शिवाय कुठेही काहीच नव्हतं. नेहा सॅमीला म्हणाली – चिंट्याला पिन कोड SMS कर, सारखा ट्राय करू नको सांग – तो भलताच काहीतरी ट्राय करेल आणि आपण इथे लॉक होऊ विनाकारण …

“मी इथेच आहे” हळूच चिंट्या म्हणाला …

चिंट्या! तुला वर थांबायला सांगितले होते ना!आता दार कोण उघडणार? – नेहा रागावून म्हणाली.

पण मीच का बाहेर थांबायचे? मलाही यायचं होते – चिंट्या कुरकुरला. कोण नाही म्हणलं होत? सगळं ओके आहे पाहून बोलावणारच होतो ना? आता सायली डाफरली – तुझ्या मुर्खपणामुळे सगळेच अडकलो ना? आता काय करशील? ए शहाणे, तू गप बस…, मग तूच थांबायचं होत बाहेर – चिंट्या खेकसला.

शांत व्हा. ही भांडायची वेळ नाही. सॅमी, जिन्या जवळचे बटन दाबून दार उघड. आणि फोनचा लाईट बंद करा, सगळे डेड व्हायला नको. सायली, एक स्नॅप घे भिंतीचा. नेहाने चार्ज घेतला. सॅमीने बटन दाबताच दार पुन्हा मागे सरकलं.

मी बाहेर थांबतो, तुमच्यापैकी एकजण बाहेर येणार असेल तेव्हा मला सांगा. असं म्हणत सॅमी बाहेर गेला.

खोलीत अजून काहीच नव्हतं. लाईट पण सिलिंगमध्ये लपवलेले होते. चिंट्यानी खिशातून एक गोल दगड काढला. बाहेर गार्डन मधे मिळाला, मस्त गोल आहे अस सांगून भिंतीवर दगडाने टक टक करू लागला. सिक्रेट दरवाजा कुठे आहे ते डिटेक्टिव्ह टायगरने असेच शोधल होतेे, त्याने दोघींना सांगितलं. एव्हढ स्पष्ट लिहिलंय की तिथे … चालू दे तुझं. आम्ही सॅमीला आत पाठवतो अस म्हणत दोघी मुली गालात हसत बाहेर गेल्या आणि सॅमी आत आला.

चिंट्याचे लक्ष नव्हते. ‘कुत्रा भुंकला नाही, आणि तोच महत्वाचा क्लू होता…’ डिटेक्टिव्ह टायगरची एक गोष्ट त्याने नुकतीच वाचली होती. काय म्हणालास? सॅमीने विचारले. टायगरच्या गोष्टीत एका घरी चोरी होते, तेव्हा त्या घरातला कुत्रा भुंकला नाही हा एक क्लू होता. इथेही वर सगळीकडे धूळ होती, कोपऱ्यात जळमटे होती! पण तळघर स्वछ आहे…

वा! छान निरीक्षण, सॅमी म्हणाला, आणि भिंतीवर अक्षरं कशी उमटली? दोघांनी भीतीवर पुन्हा बघितली. ती साधीच भिंत होती. सॅमीने पुन्हा मधले बटन दाबले. भिंतीवरची अक्षरं अदृश्य झाली. पुन्हा दाबल्यावर दिसू लागली. मनातले प्रश्न भिंतीवरच्या प्रश्ना इतकेच अवघड होते.

थोड्या वेळानी दोघे बाहेर आले आणि सगळे घरी जाऊ लागले. गणित आपणच सोडवायचे आणि कुणाला काही सांगायचे नाही असे ठरले.

… शाळा नेहमी सारखी सुरू होती. शाळेतल्या गणिताच्या तासाला सगळे आता जास्त लक्ष देत होते. घरी स्मार्टफोनवर गणिताची कोडी सर्च करून सोडवायची प्रॅक्टिस करू लागले. आई-बाबांना आज्जी-आजोबांना प्रश्न विचारू लागले. अचानक विचारलेल्या प्रश्नांमुळे कधी ते थोडे वैतागत होते, पण कौतुकही वाटत होते.

सायलीची आज्जी एकदा वैतागून म्हणाली – शाळेच्या पुस्तकातली तरी सोडव, मार्क चांगले मिळतील! आगं, हा सुद्धा अभ्यासच आहे! शाळेचे पुस्तक महत्वाचे, पण गणितं करता येणे हे जास्त महत्वाचे. आणि गणितं करता आली, तर पुस्तकातलीही जमेलच की नाही? मार्क मिळतीलच! आजोबा म्हणाले.

… शाळेत सर आज शिकवत होते …

वर्ड प्रोब्लेम्स सोडवणे हे जीवनातली फार महत्वाची विद्या आहे. हेच पहा ना – आई काय तुम्हाला ‘जा रे , कोपऱ्यावरून 3x + 3y + z = 60 ची भाजी आण’ म्हणून सांगते? 3 जुड्या पालक, 3 पाव टोमॅटो आणि एक वाटा मिरची आण म्हणते ना? समीकरण मांडून पैसे पुरतात का हे बघता. 12 रु पालक जुडी, 8 रु टोमॅटो आणि 10 रु आलं-मिरची-लसूण एक वाटा आहे. पैसे कमी आहेत! कदाचित एक पालक जुडी कमी घेतली तर? आईला कॉल करून विचारायचं का?…

प्रॉब्लेम सोडवण्यासाठी आधी तो नीट समजतो आहे हे बघा … असं काही शब्द किंवा आयडिया आहे का जी तुम्हाला माहीत नाही, कधी ऐकलं नाही, समजत नाही अस काही आहे? … काय विचारलं आहे? …

बोटीचा वेग जाताना आणि येताना किती आहे? … सायलीने मनातल्या मनात म्हटलं. सायलीचे कान आणि विचार आता दोन ट्रकवर धावू लागले …

मग दिलेली माहिती बघा…
अंतर 21 की.मी. जाऊन येऊन 4 तास … सरांच्या शिकवण्याबरोबर सायलीचे विचार धावत होते…

दिलेली माहिती कशावर आघात करते? …

पाण्याचा प्रवाह… 5 की.मी. बोटीचा वेग कमी जास्त करेल! म्हणजे बोटीचा वेग एकच आहे जाताना येताना. पाण्याचा वेग त्याच्यावर आघात करेल … सायलीचे विचार कानावर पडणाऱ्या शब्दांबरोबर धावत होते…

जे माहीत नाही त्याला x म्हणा आणि समीकरण मांडण्याचा प्रयत्न करा. x चा आणि जे माहीत आहे त्याचा संबंध जोडा….

बोटीचा वेग x. 21 कि.मी, 4 तास, 5 की.मी./तास या तीन गोष्टी माहीत आहेत… 4 तास म्हणजे जायला 2 तास आणि यायला 2 तास? याचा x शी संबंध कसा जोडायचा? त्याचे समीकरणं कसे करावे? प्रवाहाच्या वेगाचे काय करायचे? … सायलीचे विचार धावत होते …

तास संपत आला … समीकरण सोडवलं की उत्तर मिळेल. मिळालेलं उत्तर तपासून बघा. आपल्या समीकरणात आकडे भरून बघा … आघात करणारी माहिती बघा. दिलेल्या कंडीशन, अटी, नियम गृहितं काही चुकत तर नाही? कशाचा विरोध किंवा भेद तर होत नाही? सगळं जुळतं ना? पुन्हा पुन्हा तपासा … ही स्टेप सर्वात अवघड आहे. कष्ट करून मिळालेलं उत्तर बरोबरच वाटते… आळशी मन त्याला बरोबर ठरवण्यासाठी चूका लपवतं … समोर असून दिसत नाहीत … सावधान! दोन मिनिटं दुसरं काहीतरी करा, दुसरा प्रश्न बघा आणि परत येऊन बघा…

आणि शेवटी, पुन्हा मूळ प्रश्न स्वतःला विचारा आणि उत्तर संपूर्ण वाक्यात सांगा. बोलताना, वाचताना काही अतर्क्य वाटलं, शंका आली तर काहीतरी चुकलंय हे समजून पुन्हा तपासा! आइनस्टाइनचे वाक्य लक्षात ठेवा – It’s not that I’m so smart, it’s just that I stay with problems longer.

घंटा वाजली आणि तास संपला …

दुसरीकडे सॅमीच्या वर्गात जनरल सायन्सचा तास होता. वेग आणि चाल म्हणजे अंतर/वेळ. पण वेग आणि चाल यात फरक आहे. चाल (Speed) म्हणजे एखाद्या वस्तूच्या स्थानांतराचा दर (rate) … एखाद्या वस्तूच्या स्थानांतराची केवळ शीघ्रताच व्यक्त होते, तर वेगातून वस्तूच्या स्थानांतराची शीघ्रता व तिची दिशा या दोन्ही बाबी स्पष्ट होतात … दोन्हीचा वेग एकाच दिशेला असेल तर Vf = V1 + V2, विरुद्ध दिशेला असतील तर Vf = V1 – V2, … त्याला वेक्टर क्वान्टीटी म्हणतात …

संध्याकाळी ग्रुपमधे सायलीने ती कुठे अडलो आहे ते सांगितलं. घटक तथ्यांचे समीकरणं कसे जोडावे हे तिला सुचत नव्हतं. सॅमीने हा प्रश्न सोडवला. वेग म्हणजे अंतर भागीले वेळ! 21 कि.मी. अंतर 2 तासात म्हणजे वेग 10.5 कि.मी. प्रति तास! मग प्रवाहाचा आघात! प्रवाहाच्या दिशेला जाताना वेग वाढवतो, 10.5 + 5 = 15.5 की.मी./तास आणि येताना 10.5 – 5 = 5.5! सायलीने त्याला हाय फाईव्ह दिला.

पण नेहा गप्प होती. तिच्याकडे बघून सायली सावध झाले… उत्तर मिळाल्या नंतर ते तपासायला सरांनी सांगितले ते करून बघू.

जाऊन येऊन 4 तास. त्या मुळे जाताना 21/15.5 = 1.35 तास (1.35 × 60 = 81 मि.)आणि येताना 21/5.5 = 3.80 (3.8 × 60 = 228 मि.) दोन्ही मिळून 5 तास 9 मि.!!! उत्तर तर 4 तास यायला हवे, कारण जाऊन येऊन 4 तास अस सांगितलं आहे!
नेहाच्या चेहेऱ्यावर समाधान झळकले, पण ते लपवून ती म्हणाली – घाई करायला नको. अजून थोडा विचार करू…

चूक कुठे होती हे चिंट्याला लक्षात आले. कालच डिटेक्टिव्ह टायगरच्या पुस्तकात वाचलं होतं – When you ASSUME, you make an ASS of U and ME, so do not assume easily. 2 तास जायला आणि 2 तास यायला – असं का? 1 तास जायला आणि 3 तास यायला लागले तर चार तासाची अट पूर्ण होते ना? गृहीत चुकलं, त्यामुळे समीकरण चुकले.

शाब्बाश चिंट्या, मग बरोबर काय? नेहा खुश होऊन म्हणाली. चिंट्या नाही म्हणायला जर फुगलाच.

जाताना 21 की.मी. x + 5 वेगाने जातो आणि येतांना 21 की.मी. x – 5 वेगाने येतो. दोन्ही मिळून 4 तास असे पाहिजे. जाण्या-येण्याची वेळ = जाण्याचा अंतर / वेग + येण्याचा अंतर / वेग असे समीकरण आहे.

4 = (21 / (x + 5)) + (21 / (x – 5))

सायलीने आता ते सोपे केले आणि सोडवले:
4 (x– 5) (x + 5) = 21(x –5) + 21(x + 5)
4x^2 – 100 = 21x – 105 + 21x + 105
4x^2 –42x – 100 = 0
(2x + 4) (2x – 25) = 0
x = –2 किंवा x = 12.5
मायनस वेग बरोबर नाही म्हणून,
थेऊर कडे जाण्याचा वेग 12.5 + 5 = 17.5 आणि पुण्याकडे येण्याचा वेग 7.5 आहे.

सॅमीने उत्तर तपासले. जाताना 21/17.5 = 1.20 तास (1.20 × 60 = 72 मि.)आणि येताना 21/7.5 = 2.80 (2.8 × 60 = 168 मि.) दोन्ही मिळून 4 तास 00 मि.!!! मस्तच की !!!

शनिवारी दुपारी सगळे तळघरात जमले. उत्तर मी एंटर करते सायली म्हणाली. दरवाज्यावर टच करताच की-पॅड प्रकट झाले. तिने 12.5 एंटर केले, आणि क्षणभर थांबली. झिरो एंटर कर तिथे, सॅमी चटकन म्हणाला, आणि पुढचा 07.50 एंटर कर. तेव्हडं कळतं मला असा एक लूक तिने त्याला दिला आणि आकडे एंटर केले.

किर्रर्रर आवाज करत दार उघडले. आत मिट्ट काळोख होता. टॉर्चच्या उजेडात एक लांब पॅसेज दिसला. एकट्याने पुढे जाऊन बघायला सगळेच घाबरत होते.

नेहाने टॉर्च, पाण्याची बाटली आणि एक हॉकीस्टिक आणली होती. सगळं सॅमीकडे देत, सावधपणे आत जायला सांगितलं.

सॅमी हळू हळू पुढे जात होता. पॅसेज डावीकडे वळून पुढे गेला होते. नेहोने आता सायलीला आत पाठवलं. पॅसेज वळतो तिथे उभी रहा आणि सॅमीवर लक्ष ठेव. सायली आत जाऊन रनिंग कंमेंट्री करत होती. तिलाही सॅमी दिसेनासा झाला. तशी ती पुढे सरकली. नेहाने आता चिंट्याला सायलीच्या जागेवर पाठवलं. आणि जागेवरून हलू नकोस अशी तंबी दिली.

थोड्याच वेळात सॅमी माघारी आला आणि तिघे दारापाशी आले. आत एक दरवाजा आहे आणि खूप किल्ल्या आहेत. नेहाने आत येऊन आधी दरवाजा बघितला. मागे एक हँडल होतं. काठी काढून तीनं चक्क दार बंद केलं. हँडलचा उपयोग केला आणि दार सहज उघडलं. छान, सगळे आत जायला हरकत नाही.

पॅसेजच्या शेवटी एक रुंद खोली होती. सॅमीने सांगितले तसा एक दरवाजा होता. बाजूला एक मोठ्ठा की होल्डर रॅक होता. त्याच्यावर 10-12 किल्ल्यांचा एक असे अनेक जुडगे लावले होते. प्रत्येक उभ्या रांगेत 6 आणि आडव्या ओळीत 6 जुडगे शिस्तीत लावलेले होते. सॅमीने दिव्याच्या बटनाच्या बाजूचे बटनं दाबले आणि दरवाज्यावर अक्षरं उमटली:

(a)K2Cr2O7 + (b)H2SO4 + (c)KI→ (d)Cr2(SO4)3 + (e)I2 + (f)K2SO4 + (g)H2O

(e) उभ्या रांगेतल्या आणि (f) ओळीतल्या जुडग्यातली (bc) नंबरची किल्ली मला चालेल.

********************
गोष्टीचा पुढचा भाग … लवकरच
********************

******* (क्रमशः) ******

वाचकहो: सूचना, अभिप्राय, टीका प्रार्थनिय!

शिक्षकांसाठी (Suggestions हो फक्त!)
1. प्रॉब्लेम सोडवण्यासाठी उपयुक्त स्ट्रेटजी दिली आहे, ती समजावून सांगा. बऱ्याच विद्यार्थ्यांना सुरू कुठे करावं हा प्रश्न असतो, तर तितक्याच विद्यार्थ्यांना समीकरण मांडणे अवघड जाते. म्हणून स्ट्रेटजी उपयोगी ठरते. तुमच्या अनुभवातून फेरबदल करण्यास हरकत नाही.
2. हा भाग क्वाड्राटीक इक्वेशन्सचे रुट्स काढण्याचा फॉर्म्युलाकडे नेतो. फॉर्म्युला आणि फॅक्टरायजेशन दोन्ही सांगा
3. गोष्टीचा कुठलाही भाग भाग गरजेनुसार थोडा बदलला तरी चालेल
4. चिकाटी आणि तपशीलाबद्दल जागरुकता याचे महत्व समजावून सांगा. आइनस्टाइनच्या कथनाचा अर्थ सांगा. गणित सोडवणं ही घोड्याची रेस नाही. चटकन सोडवणे नव्हे, बरोबर असणे हे महत्त्वाचे.

Resources:
सिलॅबसला धरून जास्त चांगल्या पद्धतीने इथे सांगीतले आहे. तेच वापरू शकता – MATHEMATICS STANDARD SIX, SEVEN ebalbharati e-Book Library

*******************************************
— राजा वळसंगकर