गणिताची वाटचाल

ग्रीकांना गणिताची मोठी परंपरा लाभली आहे. अगदी इ.स.पूर्व सहाव्या-सातव्या शतकातील थेलिझसारख्या गणितज्ञांपासून सुरू झालेली ही परंपरा त्यानंतर नऊ-दहा शतकं टिकून राहिली. परंतु या ग्रीक गणिताची मुळं ही ग्रीसमधली नसून, जवळच्याच मध्यपूर्व आशियातील आहेत. आजच्या इराकमध्ये पूर्वी बहरलेल्या बॅबिलोनिअन संस्कृतीतल्या गणिताचे बरेच पुरावे आज उपलब्ध आहेत. या पुराव्यांत अलीकडेच एक अत्यंत महत्त्वाच्या पुराव्याची नवी भर पडली आहे. हा नवा पुरावा आहे तो थेट पायथॅगोरसच्या सिद्धांतासंबंधीचा…

पायथॅगोरसचा सिद्धांत हा गणितातल्या बहुपयोगी सिद्धांतांपैकी एक आहे. या सिद्धांतानुसार काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या वर्गांची बेरीज ही, त्याच्या कर्णाच्या वर्गाइतकी भरते. म्हणजे एखाद्या काटकोन त्रिकोणातली काटकोनाजवळची एक बाजू तीन हात लांब असली, काटकोनाजवळची दुसरी बाजू चार हात लांब असली, तर त्या त्रिकोणातली काटकोनासमोरची तिसरी बाजू ही पाच हात लांब असायला हवी. हा काटकोन त्रिकोण आपल्याकडच्या बाजूंना अनुसरून ‘३-४-५’ या पायथॅगोरीय त्रिकूटाची निर्मिती करतो. प्रत्येक काटकोन त्रिकाेणाच्या बाजू याप्रकारे, त्या-त्या त्रिकोणाशी संबंधित त्रिकूटांच्या स्वरूपात दर्शवता येतात. तसंच, काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजू माहीत असल्या तर, तिसरी बाजू या त्रिकूटानुसार ठेवून काटकोन त्रिकोण तयार करता येतो.

इ.स.पूर्व सहाव्या शतकातल्या पायथॅगोरस या ग्रीक गणितज्ञाच्या नावे असलेला हा सिद्धांत, पायथॅगोरसनं स्वतः शोधलेला नाही. मात्र त्याची तर्कसुसंगत सिद्धता ही सर्वप्रथम पायथॅगोरसनं मांडल्यानं, त्याचं नाव या सिद्धांताशी जोडलं गेलं आहे. या सिद्धांताचा वापर पुरातन काळापासून वेगवेगळ्या संस्कृतींमध्ये केला जात आहे. (भारतातही वैदिककाळात याचा वापर होत असल्याचं ज्ञात आहे.) मात्र या सिद्धांताचा वापर सर्वांत प्रथम कुठं सुरू झाला हे मात्र माहीत नाही. आता उपलब्ध झालेला पुरावा हा आतापर्यंतचा पायथॅगोरसच्या सिद्धांताचा सर्वांत जुना पुरावा ठरला आहे. उत्खननात सापडलेल्या एका मातीच्या पाटीवर, पायथॅगोरसच्या या सिद्धांतावर आधारलेल्या आकृतीचं चित्र आहे. आणि महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे या पाटीचा काळ हा पायथॅगोरसच्या जन्माच्या एक सहस्रकाहूनही अगोदरचा आहे!

ही मातीची पाटी गोल आकाराची असून ती अगदी लहानशी आहे – तळहातावर मावेल एवढीच. या पाटीचा शोध नवा नाही. ही पाटी इराकमधल्या एका फ्रेंच शोधमोहिमेत बगदादच्या परिसरात १८९४ साली, म्हणजे सुमारे सव्वाशे वर्षांपूर्वी सापडली. या मातीच्या पाटीची निर्मिती जुन्या बॅबिलोनिअन संस्कृतीत, इ.स.पूर्व १९०० ते इ.स.पूर्व १६०० या काळात झाली असावी. ऑस्ट्रेलियातील न्यू साऊथ वेल्स विद्यापीठातील गणितज्ञ व इतिहाससंशोधक डॉ. डॅनिएल मॅन्सफिल्ड यांना या फ्रेंच संशोधन मोहिमेतील माहितीचा मागोवा घेताना, भूमितीतली आकृती असलेल्या या पाटीबद्दल माहिती मिळाली. या माहितीनुसार ही पाटी तुर्कस्तानमधील कॉन्स्टनटिनोपल येथील ‘इंपेरिअल म्यूझिअम’मध्ये असायला हवी होती. परंतु ही जागा आता अस्तित्वात नसल्यामुळे, या पाटीचा पुढचा शोध खडतर झाला. तुर्की शासनातील अनेक अधिकाऱ्यांशी आणि तिथल्या वस्तुसंग्रहालयांशी संपर्क साधल्यानंतर अखेर सदर पाटी कुठं आहे, याचा डॉ. मॅन्सफिल्ड यांना २०१८ साली शोध लागला. ही पाटी आता ‘इस्तंबूल आर्किऑलॉजिकल म्यूझिअम’मध्ये ठेवली आहे.

या पाटीवरची आकृती नक्की कशाशी संबंधित आहे, याची फोड गेलं सव्वा शतक कोणीही करू शकलं नव्हतं. ही पाटी शोधून काढल्यानंतर लगेचच, डॉ. मॅन्सफिल्ड यांनी त्यावर सखोल संशोधन सुरू केलं. आजच्या वापरातली दशमान पद्धती ही दहाच्या पायावर आधारलेली आहे. बॅबिलोनिअन संख्यापद्धती ही मात्र साठाच्या पायावर आधारलेली होती. त्यामुळे या माहितीची फोड करणं हे एक मोठं आव्हान होतं. कित्येक महिन्यांच्या सखोल संशोधनानंतर त्यांनी या पाटीवरील भूमिती व त्यामागचा उद्देश शोधून काढला. आपलं हे संशोधन डॉ. डॅनिएल मॅन्सफिल्ड यांनी अलीकडेच जाहीर केलं आहे.

या पाटीवरची आकृती पायथॅगोरसच्या सिद्धांताचा वापर केल्याचं दर्शवते. ही आकृती जमिनीच्या सर्वेक्षणावर आधारलेली आहे. ही पाटी म्हणजे करआकारणीच्या उद्देशानं केलेली कायदेशीर नोंद असण्याची शक्यता डॉ. डॅनिएल मॅन्सफिल्ड व्यक्त करतात. योग्यरीत्या काटकोनात रेषा आखण्यासाठी, या सर्वेक्षणांत पायथॅगोरसच्या सिद्धांताचा वापर केला आहे. डॉ. मॅन्सफिल्ड यांच्या मते, या पाटीवरचे इतर उल्लेख, ही पाटी म्हणजे खजुराच्या झाडांच्या मालकीसंबंधीचा दस्तऐवज असल्याचं दर्शवतात. जमिनीच्या वैयक्तिक मालकीची अधिकृत सुरुवात याच काळात झाली असावी. त्यामुळेच जमिनीचा एखादा तुकडा नक्की कोणाच्या मालकीचा, हे स्पष्ट होणं गरजेचं झालं होतं. आणि त्यासाठी आवश्यक होतं ते त्या जमिनीचं अचूक सर्वेक्षण! ही पाटी म्हणजे अशाच एका सर्वेक्षणाची नोंद आहे. उपयोजित भूमितीचा हा आतापर्यंत उपलब्ध झालेला सर्वांत जुना पुरावा असावा.

डॉ. डॅनिएल मॅन्सफिल्ड यांनी चार वर्षांपूर्वी बॅबिलोनिअन संस्कृतीतल्या आणखी एका छोट्या, आयताकृती पाटीवरील लेखनाचा शोध घेण्याचा प्रयत्न केला होता. या पाटीवर चार स्तंभ आणि पंधरा ओळींचा, काही संख्या लिहिलेला एक तक्ता होता. या संख्या त्रिकोणमितीशी संबंधित असल्याची काहीशी कल्पना तेव्हा आली होती. परंतु त्याचा पूर्ण उलगडा होत नव्हता. आताच्या गोल आकाराच्या पाटीवरून, बॅबिलोनिआतील लोकांना पायथॅगोरसच्या सिद्धांतामागील भूमितीची ओळख अगोदरच असल्याचं स्पष्ट झालं. यावरून, या आयताकृती पाटीवरील संख्या म्हणजे पायथॅगोरसची त्रिकूटं असल्याचं लक्षात आलं. ही त्रिकूटं वेगवेगळ्या काटकोन त्रिकोणांच्या बाजू दर्शवत होती. या त्रिकूटांच्या साहाय्यानं, सर्वेक्षणासाठी लागणारे काटकोन त्रिकोण तयार करणं हे सोपं झालं होतं. भूमितीतील आकृती काढलेली गोल आकाराची पाटी ही, त्रिकूटांचा उल्लेख असलेल्या आयताकृती पाटीपेक्षा जुनी असण्याची शक्यता डॉ. मॅन्सफिल्ड यांना वाटते.

डॉ. डॅनिएल मॅन्सफिल्ड यांचं हे सर्व संशोधन, भूमिती-त्रिकोणमिती या गणिती शाखांचा उपयोग ग्रीकांच्या कित्येक शतकं अगोदर बॅबिलोनिआत केला जात असल्याचं स्पष्ट करतं. पाटीवरची ही आकृती, उपयोजित गणिताकडून शुद्ध गणिताकडे होणारी वाटचाल दाखवते. त्यामुळे शुद्ध गणितातलं ग्रीकांचं योगदान जरी मोठं असलं तरी, त्याची वाटचाल अगोदरच सुरू झाल्याचं यावरून स्पष्ट होतं. ग्रीकांच्या काळातला त्रिकोणमितीचा वापर सुरू होण्याच्या आतच, बॅबिलोनिआतील लोकांनी वापरलेल्या या त्रिकोणमितीचा उल्लेख, डॉ. मॅन्सफिल्ड ‘प्र-त्रिकोणमिती’ – म्हणजे त्रिकोणमितीची पूर्वस्थिती – या नावानं करतात. मात्र बॅबिलोनिअन आणि ग्रीक, या दोन्ही संस्कृतींतील त्रिकोणमितीच्या वापरातला एक मोठा फरक डॉ. मॅन्सफिल्ड यांनी स्पष्ट केला आहे – ‘बॅबिलोनिआतील लोकांनी या गणिताचा उपयोग जमिनीचं मापन करण्यासाठी केला तर, ग्रीकांनी या गणिताचा उपयोग आकाशाचा वेध घेण्यासाठी केला!’.

चित्रवाणीः https://www.youtube.com/embed/8C6IbJJ-mhM?rel=0

— डॉ. राजीव चिटणीस.

छायाचित्र सौजन्य: Daniel F. Mansfield