वर्ड प्रॉब्लेम्स – एक दुर्लक्षित प्रकार

The twin goal of mathematics education is the development of critical thinking and problem-solving skills and abilities.
(गोष्ट पुढे लिहिणार आहे, पण थोडा ब्रेक म्हणून एक जुना लेख … )

एका अभ्यासलेखामधे हे वाक्य वाचले आणि थबकलो. मार्कांच्या रस्त्यावर झापड लावून धावणाऱ्यांचा मागे कळपवृत्तीमुळे धावताना आपण काहीतरी विसरलो आहोत हे जाणवत होते, काहीतरी मागे ओढत होत आणि थांब, प्लीज थांब म्हणत होत… हाच का तो विचार … ?

गणित शिकण्या-समजण्यामधे “वर्ड प्रॉब्लेमस्” किंवा वर्णनात्मक कथन / वृत्तांत पद्धतीने मांडलेले गणिती प्रश्न हे एक महत्त्वाचा प्रकार आहे. दैनंदिन जीवन आणि शिक्षणाची सांगड घालण्यास मदत करतो. जीवनातल्या बऱ्याच प्रश्नांकडे बघण्याचा आणि ते सोडवण्याचा तर्कशुद्ध मार्ग शिकवतो. (माझ्या पाहण्यात आलेल्या परीक्षां प्रश्नपत्रिका मधे असे प्रश्न अभावानेच दिसले.)

गणितातले वर्ड प्रॉब्लेम्स करीअरच्या दृष्टीने पण महत्वाचे आहेत. अनँलिटिकल स्किल्स शिकण्याची गाडी व्हाया रीडींग-कॉमप्रीहेंशन ठेशणा वरून जाते!

“The mastery of word problems is seen as an important test of mathematical ability. When solving such problems, students supposedly go beyond rote learning and mechanical exercises to apply their knowledge to realistic problem situations in which mathematical reasoning becomes an important instrument for making concrete judgements.” (ScienceDirect. com)

शैक्षणिक दृष्ट्या वर्ड प्रॉब्लेम बद्दल काही अभ्यास निबंधाचा सारांश.

प्रथम, सर्व अभ्यास निबंध मी पूर्णपणे वाचलेला नाही, पण त्याच्या एबस्ट्रँक्ट आणि त्याचातले उल्लेख वारंवार वाचनात आले. तेव्हढ्या भांडवलावर पुढचे कथन आधारित आहे.

दुसरे असे की हा अभ्यास पाश्चात्य अभ्यासक्रमातील विद्यार्थ्यांचे केलेल्या निरीक्षणावर आहे. वर्ड प्रॉब्लेमस् इतर गणिती प्रश्नांपेक्षा थोडे वेगळ्या पद्धतीने मांडलेले असतात. गणिती तंत्रात मांडता येईल अशी तत्व, माहिती चाळून शोधावी / काढावी लागतात. त्यानंतर योग्य सूत्र, तंत्र वापरून आकडेमोड करून उत्तर द्यावे लागते. असो – मूळ विषयाकडे. (मराठीमध्ये वर्ड प्रॉब्लेम असा उल्लेख असलेला लेख इंटरनेट वर सापडला नाही. अशा प्रकारचे प्रश्न मराठी विद्यार्थ्यांना अवघड जातात का नाही, हे मला माहित नाही. पण “प्रश्न नीट वाचा”, “काय विचारली ते पहा”, … उपदेश आढळतो आणि हे बरेच काही सांगून जातं. पर्यायी संज्ञा (terminology) सुचली नाही म्हणून “वर्ड प्रॉब्लम” असा “सपष्ट म्हराटी” शब्द प्रयोग वापरतो. :-))

Verschaffel, Greer, & Corte, 2000
वर्ड प्रॉब्लेम अवघड आहेत का हे पाहण्यासाठी तीन परीक्षण वापरले जाऊ शकतात.

1. बोलीभाषेची क्लिष्टता,
2. गणिती क्लिष्टता, आणि
3. बोलीभाषा आणि गणिती घटकांच्या नात्याची क्लिष्टता.

उदाहरणार्थ: (संख्या) मिळवणे (add or multiply), जोडणे (add or concatenate), वर्ग करणे (square or classify). बोलीभाषेचे शब्द अनेक अर्थाने वापरले जातात. गुणाकार चिन्ह (X, * or ⋅), ग्रीक चिन्ह, इंग्रजी अक्षरांचे मिश्रण. त्यामुळे संदर्भा शिवाय अर्थ स्पष्ट होत नाही ते क्लिष्ट! Daroczy G, and others (2015):- Word problems: a review of linguistic and numerical factors contributing to their difficulty.

क्लिष्ट भाषा, अवघड संकल्पना, आणि तोकड्या भाषाज्ञाना मुळेही वर्ड प्रॉब्लेमस् अवघड वाटते. नेमकं काय विचारले आहे, काय करायचे आहे आणि अर्थातच कसे करावे हा गोंधळ होतो. (Verschaffel et al. 2000).

वर्ड प्रॉब्लेम उदा: तुम्ही भारत एव्हिएशन कंपनी मधे डिझाईन इंजिनीअर आहात. भारत एव्हिएशन कंपनी विमान बनवते. त्यांच्या A-55 विमानाला उड्डाण घेण्यासाठी 2 कि.मी. धावपट्टी लागते. उड्डाण साधण्यासाठी ताशी 360 कि.मी. वेग साधावा लागतो. त्यासाठी लागणारा प्रवेग किती असावा, तो साधायला वेळ किती लागेल. याचे कोष्टक / तक्ता तयार करायला तुमच्या वरिष्ठांनी तुम्हाला सांगितले आहे. साधारण 1500 मी. च्या आत बाहेर विमानांनी हवेत झेप घ्यावी असे असेल तर विशिष्ट प्रवेग किती हवा आहे सांगू शकाल? आणि किती वेळ लगेल ते पण पहा.

या गणिताचे कथन सदोष आहे. त्यात प्रश्न स्पष्ट नाही. तक्ता कशाचा करायचा आहे? 1500 मी. च्या “आत बाहेर” म्हणजे काय? “पहा” म्हणजे काय करायचे? त्यामुळे प्रश्न घडवताना भाषाज्ञान आणि लिहिण्याची कला आवश्यक आहे हे वेगळे सांगायला नको.

शिक्षक आणि विद्यार्थी, दोघांचे भाषेकडे दुर्लक्ष महागात पडतं – कॉग्नीटिव्ह लोड वाढतो. त्याने काही सुचेनासे होत, चीड चीड, राग, हताशपणा आणि विषयाची भीती निर्माण होतो. (Cognitive load theory – हा स्वतंत्र विषय आहे, अभ्यास पत्र बरीच आहेत.)

वर्ड प्रॉब्लेम सारख्या शैक्षणिक घटकाचा दोषही तितकाच मोठा आहे.

ह्या पद्धतीमुळे विद्यार्थी अवास्तव, अतार्किक गृहितांना पासून उत्तरा पर्यंत सर्व, केवळ शिक्षकांनी (किंवा तज्ञांनी) सांगितले ते सत्य म्हणून स्वीकारतात. पुढे हीच वृत्ती होते आणि वास्तवातल्या प्रसंगांसाठी गणिती पद्धत वापरताना अतार्किक अवास्तव गृहितांचा सत्य म्हणून उपयोग करतात. (Verschaffel, De Corte, and Lasure (1994)). याचे एक उदाहरण: आर्थिक गुंतवणूक करताना भविष्यात मिळणारा नफा – स्वीकारलेले अवास्तव गृहीते (trusting someone’s forecast)!

Give a person a fish and you feed them for a day. Teach a person to fish and you feed them for a lifetime.

वर्ड प्रॉब्लेम्स सोडवताना ऍनालीटीकल थिंकिंग कसे सहज अंगवळणी पडते, ते या नमुना प्रक्रियेतून दिसून येते.

वर्ड प्रॉब्लेम सोडवण्यासाठी नमुना प्रक्रिया संहिता: (the solution process)

1. आधी वर्ड प्रॉब्लेम किमान दोन वेळा वाचा. अनावश्यक विधानावर काट मारा (strike through).
2. प्रश्न चित्ररूपात मांडून बघा.
3. कथनातून प्रश्न वेगळे करून स्पष्ट शब्दात लिहून काढा. (1500 मी. ला उड्डाण वेग साधण्यासाठी किती प्रवेग हवा आहे? 1500 मी. अंतर किती वेळात साधले जाईल? ई.)
4. उत्तर शोधण्यासाठी लागणारे सूत्र (फॉर्म्युला) लिहून काढा.
5. विशिष्ट माहितीचा तख्ता करा. घटक एकाच मापन पद्धतीमधे बदलून घ्या. (360 की.मी./तास = 100 मी./सेकंद)
6. सर्व संभव्य सूत्र लिहून काढा. कुठला वापरायचा, का काही द्राविडी प्राणायाम करावा लागेल ते पुढे स्पष्ट होईलच.
7. सूत्रातील (फॉर्म्युला) विशिष्ट घटक (व्हेरिएबल) आहेत का पहा. व्हेरिएबल नोटेशन अक्षरं वरील तक्त्यात लिहा.
8. ज्या सूत्रांचे सर्व घटक आहेत ते सूत्र वापरा. जर असे नसेल तर तक्त्यातल्या इतर माहितीतून तो घटक मिळवता येतो का पहा. (गरज पडल्यास द्राविडी प्राणायाम – Manipulate formula to suit 🙂 )
9. आकडेमोड करून उत्तर शोधा.
10. प्रश्न, सूत्र, आकडेमोड पुन्हा तपासा. उत्तर अवास्तव वाटत नाही ना?
11. …

प्रत्यक्ष (वर दिलेल उदा.):

1. एक्साम्पल मधल्या अनावश्यक वाक्यावर काट मारून स्पष्टीकरण द्या. उदा. पहिले 2 वाक्य.
2. चित्र वर्णन: विमान धावपट्टीवर धावत आहे. सुरवात, उड्डाण, धावपट्टीचा शेवट – सर्व अंतर चित्रावर दाखवा. विमान उड्डाण बिंदू 1500 मी वर दाखवा आणि उड्डाण वेग चित्रावर लिहा.
3. प्रश्न स्पष्टता: 1500 मी. वर 100 मी./सेकंद वेग गाठण्यासाठी प्रवेग किती हवा? हा वेग साधण्यास वेळ किती लागेल?
4. कायनेमॅटिक सूत्र:
   v = u + at = दोन घटक नाहीत (a & t)
   d = ½ (u + v)t = जो शोधायचा आहे तोच नाही (a)
   d = ut + ½ at^2 = दोन घटक नाहीत (a & t)
   v^2 = u^2 + 2ad हा फॉर्म्युला वापरू शकतो. फक्त ‘a’ नाही, त्यामुळे या समीकरणातून तो शोधता येईल, नंतर t शोधता येईल.
5. विशिष्ट माहिती आणि व्हेरीएबल्स: v = 360 km/h = 100 m/s; d = 1500 m:; u = 0 m/s
6. …

शेवटी:

• वर्ड प्रॉब्लेम लेखन एक स्वतंत्र कौशल्य आहे का? सर्व शिक्षकांकडे असेल? असे लिखाण कोण करेल?
• ही मेथड स्वतंत्रपणे अभ्यासक्रमात असावी? तुम्हाला काय वाटत?
• शैक्षणिक साहित्यातले काही विशिष्ट घटक साहित्याला शैक्षणिक रूप देतात. वैचारिक, ललित किंवा इतर साहित्य प्रकारात असे लिखाण/कथन सहसा आढळणार नाही. काय आहेत हे घटक?